双曲线的性质问题 AB两点的距离表达式是什么？

d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]

看明白了吗？就是求两点间距离根号下（（x1—x2）的方+（y1-y2)的方）再整理带入双曲线整理就行了！

说是“弦长公式”，其实是两点间的距离公式——由于斜率k已知了，所以就能用斜率、横坐标（或纵坐标）表示的式子了。

由于这个公式经常用于求圆锥曲线上的两点间的距离，所以通常就把它叫做“弦长公式”了

推导如下：

由直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)

得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k

分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)? + (y1 - y2)? ]

稍加整理即得：

|AB| = |x1 - x2|√(1 + k?) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k?)

如题，该距离公式借助双曲线的第二定义得出。因此，以下先说明双曲线的第二定义，再给出所涉距离公式。

1.双曲线的第二定义：

①文字语言：若平面内点P与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e>1)，则点P的轨迹是双曲线。其中，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。

②集合语言：

③两点说明：

1）双曲线有两条准线：对于双曲线x?/a?－y?/b?=1相应于焦点F2（c,0）的准线方程是x=a?/c，根据双曲线的对称性，相应于焦点F1（－c,0）的准线方程是x=-a?/c；

2）据定义知，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

2.借助第二定义表示双曲线上一点到两焦点的距离：

以点P在双曲线右支为例，类似地，可得出点P在左支的情形。

如图，不妨假设P(x。,y。)是双曲线x?/a?－y?/b?=1右支上任意一点，点F1（－c,0）、F2（c,0）分别是双曲线的左、右焦点：

①由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为D，则

②由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为E，则

3.一点补充：

当点P在双曲线左支时，有：|PF1|=－(ex。+a)，|PF2|=－(ex。－a)